列印此頁 列印此頁

管理新知

從諾貝爾經濟獎漫談資源配置管理研究(十一)︰機制面之四
文‧圖/賴聰乾

  本期先介紹計票機制,再介紹Maskin對實施理論的貢獻。前者含︰計票機制緣起、Borda計票法、Condorcet計票法、計票法盲點與特性;後者含︰實施理論緣起、社群選擇法則、直問盲點、符合誘因性機制、可實施性、機制存在性。

計票機制緣起

  一群委員如何對一組選項(方案或候選員)進行排序?

  考慮有60位委員、3個選項(稱為A, B, C)之問題。先請各委員對3選項進行偏好排序。可用一維度3*3的偏好矩陣來表示各委員的偏好排序P=(p(i, j)),令p(i, j)=1如i排在j之前,否則p(i, j)=0,得票矩陣V=(v(i, j))即為60位委員的個別偏好矩陣之和,亦即v(i, j)表喜歡i甚於 j的委員個數。令得票矩陣如下︰

 

A

B

C

A

0

23

29

B

37

0

29

C

31

31

0

 
  整合各委員偏好的常用計票法有兩種,即Borda與Condorcet計票法。
 

 

Borda計票法

  18世紀法國學者Borda認為各選項的總票數是該列總和,例如A的總票數是23+29,所以A, B, C的總票數分別是52, 66, 62。故委員的整合偏好,依序是B, C, A。

Condorcet計票法

  同時期的另一位法國學者Condorcet不認同Borda的計票法,Condorcet觀察到︰有過半數的(31位)委員認為C比B好,且有過半數的(31位)委員認為C比A好。所以他認為C(而不是B)應排在第一位。

  Condorcet所提的計票法如下︰

  在最有利於各選項的排序下,對其計票,且包含遞移性關係所產生的隱含票數。

  對A而言,有ABC與ACB兩種排序,前者的票數來源包含v(A, B), v(A, C)及v(B, C),其中v(B, C)係隱含票數;後者的票數來源包含v(A, C), v(A, B)及v(C, B),其中v(C, B)係隱含票數。所以,如以ABC排序來計票為23+29+29,即81票;如以ACB排序計票為29+23+31,即83票。故以ACB排序來計票,對A最有利,即A的總票數為83。

  依此類推,對B而言,如以BAC排序來計票為37+29+29,即95票;如以BCA排序計票為29+37+31,即97票。故以BCA排序來計票,對B最有利,即B的總票數為97。對C而言,如以CAB排序來計票為31+31+29,即91票;如以CBA排序計票為31+31+37,即99票。故以CBA排序來計票,對C最有利,即C的總票數為99。

  就誰該排第一而言,A, B, C分別得83, 97, 99票,故C應排第一。因v(B, A) > v(A, B), 即 37 > 23, 故B應排於A之前。所以委員的整合偏好,依序是C, B, A。

  「獲多數支持之選項」指該選項與任何其它選項單獨比較時皆獲過半票數。Condorcet指出,若存在獲多數支持之選項,他的計票法使該選項排第一。

計票法盲點與特性

  考慮下例︰有3位委員、3個選項(稱為A, B, C),第一位委員的偏好排序是ABC,第二位的排序是BCA,第三位的排序是CAB。如依Borda計票法,三選項,各得3票,如依Condorcet計票法,各得5票。到底何者才是最佳選項?

  諾貝爾經濟獎1972年獲獎者K. Arrow,在其著名的不可能性定理(1963)指出,任何整合委員偏好的計票法,都無法同時滿足下列三項要求︰無異議性、非獨裁性、非相關選項獨立性。

  「無異議性」指如所有委員都偏好A甚於B,則在整合排序中A排在B之前;「非獨裁性」指整合排序不會在所有情況下都取決於同一委員;「非相關選項獨立性」指任兩選項在整合排序中的相對排序,完全取決於該兩選項的單獨排序。

  無論Borda或Condorcet計票法,都無法滿足非相關選項獨立性之要求。但若將該要求放寬成僅對整合排序中相鄰的兩選項而言,即相鄰非相關選項獨立性,則Condorcet計票法具有該性質。

  Young & Levenglick(1978)證明,Condorcet計票法是唯一具有下列四項性質的方法︰不偏性、無異議性、增援性、相鄰非相關選項獨立性。「不偏性」指與委員如何編碼無關且與選項如何編碼亦無關,「增援性」指兩個無交集的委員次子群,若各子群皆偏好A甚於B(允許其中之一子群A與B打平),則兩子群的整合偏好為A勝於B。

  Young(1995)指出,從統計的觀點來看,Condorcet計票法即是最大概似(Maximum Likelihood)法則。並指出,Condorcet計票法有兩個含意︰當一群專家在比較一組選項時,它是尋求“真理”的最佳方式;當一般大眾在比較一組公共政策時,它是價值妥協的最佳方式。

實施理論緣起

  對某項需求(如能源),供應者(如政府或供應商)提供下列四種服務類型︰煤、石油、核能、天然氣(Maskin 2007)。假設阿美與阿俊是市場上僅有的兩位消費者,阿美的需求偏好是基於便利,而阿俊是基於安全考量。

  在高貼現率狀態下,未來相對較不重要,在低貼現率狀態下,未來則相對較重要。令狀態1代表高貼現率狀態,狀態2代表低貼現率狀態。阿美與阿俊在各狀態下的偏好排序如下(例1)︰
  狀態1︰
    阿美依序是天然氣、石油、煤、核能;
    阿俊依序是核能、石油、煤、天然氣。
  狀態2︰
    阿美依序是核能、天然氣、煤、石油;
    阿俊依序是石油、天然氣、煤、核能。
  狀態訊息係阿美與阿俊所私有,欠缺該訊息下,供應者如何提供服務類型?
   
社群選擇法則

  一社群選擇法則(Social Choice Rule)規定︰任一訊息狀態下社群的最佳類型。給定某一訊息狀態,如給定狀態1或2,常用的挑選方式有Borda計票法、Condorcet計票法及差異原則等。

  就計票來說,阿美與阿俊是兩位委員,煤、石油、核能、天然氣是四個選項。彙整各狀態下委員對候選者的偏好,可得如下狀態1得票矩陣︰
 

 

石油

核能

天然氣

0

0

1

1

石油

2

0

1

1

核能

1

1

0

1

天然氣

1

1

1

0

 
  及如下狀態2得票矩陣︰
 

 

 

石油

核能

天然氣

0

1

1

0

石油

1

0

1

1

核能

1

1

0

1

天然氣

2

1

1

0

 

 

 

   根據Borda計票法,狀態1時,煤、石油、核能、天然氣的總票數分別為2、4、3、3票,故石油獲選。狀態2時,煤、石油、核能、天然氣的總票數分別為2、3、3、4票,故天然氣獲選。

  根據Condorcet計票法,狀態1時,煤、石油、核能、天然氣的總票數分別為6、7、7、7票,石油、核能及天然氣都打平。狀態2時,煤、石油、核能、天然氣的總票數分別為6、7、7、7票,石油、核能及天然氣都打平。兩狀態下,Condorcet計票法都無法產生唯一一位最佳類型。

  Rawls(1971)於討論分配正義時,提出差異原則(Difference Principle),即讓最不滿意成員的滿意程度極大化。更精細的版本為Sen(1970)所提︰若有多重解,再讓次最不滿意成員的滿意程度極大化,依此類推,直到獲得唯一解或無法再進一步區分。A. Sen因對公平性的貢獻,於1998年獲頒諾貝爾經濟獎。根據該原則,狀態1時,石油皆是阿美與阿俊的第2順位、煤皆是第3順位、核能分別是第4與第1順位、天然氣分別是第1與第4順位,所以對石油、煤、核能、天然氣,其最不滿意成員的順位分別是第2、3、4、4,因此狀態1時石油獲選。依此類推,狀態2時天然氣獲選。

  假設供應者所採用的社群選擇法則是︰狀態1時石油獲選、狀態2時天然氣獲選。由於狀態訊息係私有,供應者如何獲知?

直問盲點

  如直問兩人,若所答是同一狀態,賦予該狀態的機率為1;若非,賦予兩狀態的機率各為0.5。

  當阿俊回答狀態1時,阿美如回答狀態2,天然氣獲選的機率可從0提高至0.5;當阿俊回答狀態2時,阿美如回答狀態2,天然氣獲選的機率可從0.5提高至1。由於無論何種狀態,阿美都較喜歡天然氣勝於石油,所以都回答狀態2較有利。

  當阿美回答狀態1時,阿俊如回答狀態1,石油獲選的機率可從0.5提高至1;當阿美回答狀態2時,阿俊如回答狀態1,石油獲選的機率可從0提高至0.5。由於無論何種狀態1或2,阿俊都較喜歡石油勝於天然氣,所以都回答狀態1較有利。

  由於阿美一定回答狀態2,阿俊一定回答狀態1,所以直問如同「白問」。

符合誘因性機制

  供應者(即機制設計者)可透過下列機制獲知狀態訊息︰阿美有上、下兩行動方案,阿俊有左、右兩行動方案,如阿美與阿俊分別採上、左,石油獲選;採上、右,煤獲選;採下、左,核能獲選;採下、右,天然氣獲選。如下表所示︰

 

 

石油

核能

天然氣

  

 

 

為何上述機制能辦到?

  如真實狀態是狀態1,對阿俊而言,左優於右,因他喜歡石油勝於煤、核能勝於天然氣,所以阿俊會採左不論阿美採上或下;阿俊如採左,阿美將採上,因她喜歡石油勝於核能;因此,阿美與阿俊分別採上、左乃是唯一的Nash均衡,所以石油獲選。

  如真實狀態是狀態2,對阿美而言,下優於上,因她喜歡核能勝於石油、天然氣勝於煤,所以阿美會採下,不論阿俊採左或右;阿美如採下,阿俊將採右,因他喜歡天然氣勝於核能;因此,阿美與阿俊分別採下、右是唯一的Nash均衡,所以天然氣獲選。

  狀態1與2分別由石油與天然氣獲選正是供應者所要的,所以,即使欠缺狀態訊息,供應者也能透過上述機制獲知。換言之,該社群選擇法則可透過上述機制的Nash均衡來實施。

可實施性

  稱某社群選擇法則具可實施性(Implementable),若存在某機制使該法則可經由Nash均衡來實施。因例1所採法則可透過Nash均衡來實施,所以稱該法則對例1具可實施性。

  稱某社群選擇法則具單調性(Monotonic),如該法則在某狀態的最佳類型是a,而在另一狀態下,如社群任一成員對a的偏好排序都沒「往下掉」,則該法則的最佳類型仍是a。沒「往下掉」指沒被原排在a之後的類型超越。

  如某成員的a有「往下掉」,單調性即成立。例1中,狀態1的最佳類型是石油,對阿美而言,她這時喜歡石油勝於核能,不過,在狀態2時卻反過來,所以該社群選擇法則對例1具單調性。
  

  單調性未必一定存在,考慮下列偏好型態(例2)︰
  

  狀態1下︰
    阿美的偏好排序依序是天然氣、煤、石油、核能;
    阿俊依序是核能、石油、天然氣、煤。

  狀態2下︰
    阿美依序是天然氣、石油、煤、核能;
    阿俊依序是石油、核能、天然氣、煤。

  採用Borda計票法之社群選擇法則︰狀態1時天然氣獲選、狀態2時石油獲選。由於天然氣為狀態1之最佳類型且於狀態2時並沒「往下掉」,卻不是狀態2的最佳類型,所以該法則對例2不具單調性。

機制存在性

  Maskin的主要貢獻,在於探討社群選擇法則在何條件下具可實施性,他發現可實施性與單調性有關︰
   
  必要條件定理(Maskin 1977) 

  某社群選擇法則如具可實施性,則該法則具單調性。

  充分條件定理(Maskin 1977) 

  假設社群至少有三成員,某社群選擇法則如具單調性且「無否決權」,則該法則具可實施性。

  採用Borda計票法之社群選擇法則,因對例2不具單調性,根據必要條件定理,該法則不具可實施性。直觀解釋如下︰

  如具可實施性,則存在一對(阿美與阿俊的)行動策略(s1, s2),使得該策略為狀態1之均衡解且該策略的結局是天然氣。如此,則該策略亦為狀態2之均衡解,因阿美在兩狀態下的最愛都是天然氣,在狀態1時沒誘因偏離,在狀態2時亦然,而阿俊在狀態2時也沒誘因偏離至核能或石油,因他在狀態1時沒誘因偏離,在狀態2時亦然。由於該策略皆是兩狀態下的均衡解,但狀態2時,天然氣卻非最佳類型,故無法實施。

  關於充分條件定理,「無否決權」指任一成員無法否決其它所有成員的共識,例如,社群的最佳選項為a如其它所有成員皆視a為最佳選項。機制設計的用意,乃提供誘因使參賽者選取符合規定的均衡策略,或懲罰偏離均衡策略者;社群成員須假設至少有三位,乃基於︰如只有二位,將無法分辨那位偏離均衡策略,至少有三位才能分辨。(待續)

 

賴聰乾小檔案 
 

 

現任臺大工商管理系暨商學所教授。1960年次,18歲前住在嘉義,之後6年,在(早期)人煙稀少的清大校園,過著有些與世隔絕的生活,服完預官後,猶豫該去約翰霍普金斯大學數學科學系、UCLA電機系或史丹福大學工業工程系(現併入管理科學與工程系)攻讀博士,後來選了史丹福,轉眼結束5年如夢幻般的校園生活,旋即在本校工商管理系暨商學所任教迄今,期間(1998至1999)在麻省理工學院作業研究中心客座一年。目前的研究重點是,使用穩定度方法來處理不確定下最適資源配置。另一方面,隨著年齡增長,對管理與決策思維的研究漸感興趣。

 

 

 

發表迴響

你可以使用 HTML標簽

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>